相干函数是两个随机信号在频域内相关程度的指标。对于一个随机振动系统，为了评价输入信号与输出信号的因果性，即输出信号的频率响应中有多少来自输入信号的激励，就可以用相干函数来表示。通常在随机振动声学测试中，计算出来的相干函数的值为0~1之间的正实数。工程上也通常用相干函数来评价两个信号的相关性，一般该值不低于0.8时，可认为两个信号比较相关，即其中一个信号是由另外一个信号所引起的。

测试时，在电泵上加一个加速度传感器A来测试电泵运行的振动，同时在电泵附近摆放一个声传感器B，用来测量电泵运行的噪声；且在该传声器附近用扬声器放一个487Hz单频音；在房间隔壁再摆放一个传声器C，该传声器附近在用另外一个扬声器播放一个887Hz单频音。同时采集电泵和两个扬声器开启后，上述三个传感器的30s的振动噪声，采用hamming窗函数，且50%的重叠区域，频率分辨率为1Hz；从而得到加速度传感器A与声传感器B、加速度传感器A与声传感器C以及声传感器B与声传感器C之间的自功率谱密度、互功率谱密度和相干函数如图1所示。

图1a 加速度传感器A与声传感器B的自谱、互谱和相干函数

图1b 加速度传感器A与声传感器C的自谱、互谱和相干函数

图1.c 声传感器B与声传感器C的自谱、互谱和相干函数

由图1a可知，加速度传感器A与声传感器B的相干函数峰值频率基本与加速度传感器的峰值频率；这表明声传感器B接收到的声信号大部分来自于电泵噪声。但是声传感器B还有一个来自于其附近扬声器发出的频率为487Hz的单频噪音，由于该噪音不是来自于电泵，因此它们的互谱和相干性较差。图1b也是类似如此；二者的互谱和相干函数在887Hz较小。

但比较图1c给出的声传感器B与声传感器C的互谱和相干函数可以发现，二者在不但在电泵振动各个频率点具有较好的相干性，在487Hz和887Hz也具有良好的相干性。这是由于这两个传声器均接收到了扬声器发出的信号。   

由上例可以看到，声传感器B的噪声传递至与声传感器C包含两部分，一是电泵运行的噪声，二是声传感器B附近扬声器发出的487Hz的单频音。如果要分析去除电泵影响后，声传感器B的噪声对声传感器C贡献，则可引入偏相干分析方法。偏相干函数就是描述两个信号去除另外一些信号对它们的线性影响后剩余信号之间的相干关系。可以推导得到这时的偏相干函数为：

式中：S_22·1为去除信号1后，信号2的自谱；S_33·1为去除信号1后，信号3的自谱；S_23·1为去除信号1后，信号2和信号3的互谱；H₁₂为信号1,2的传递函数；H₁₃为信号1,3的传递函数。S₂₂为信号2的自谱；S₃₃为信号3的自谱；S₂₃为信号2和信号3的互谱。这样可得到去除信号1后，信号2与信号3的偏相干函数为：

这样，对上例而言，图1.8.6为去除电泵信号A后，声传感器B与传声器C之间的偏相干函数曲线；对比图1.8.5c可以看到这时二者的相干性电泵绝大多数频率点都有下降，其最大的相干频率点为487Hz和887Hz，均为扬声器发出的单频音。

图2 声传感器B与声传感器C的自谱、互谱和去除信号A后的偏相干函数